Divenne una figura importante per il club giallorosso, con la quale vinse lo Scudetto nella stagione 1982-1983 e la Coppa Italia, cinque volte, tra il 1979 e il 1991. Con la Roma, inoltre, raggiunse la finale di Coppa dei Campioni del 1984, persa all’Olimpico dopo i calci di rigore contro il Liverpool. Nella sua ultima stagione, quella del 1990-1991, aiutò la squadra a raggiungere la finale di Coppa Uefa. E’ stato uno degli undici membri ad essere introdotti nell’A.S. Roma Hall of Fame nel 2012.

Ha esordito con la Nazionale italiana l’11 ottobre 1980. Fece parte della spedizione azzurra che vinse la Coppa del Mondo nel 1982 in Spagna. Partecipò anche al Mondiale del 1986, quello in cui gli Azzurri vennero eliminati agli ottavi di finale. In totale, ha segnato 5 gol in 47 presenza con l’Italia tra il 1980 e il 1986. 

Dopo il ritiro, Conti rimase alla Roma come membro dello staff tecnico del settore giovanile. Nel 2005 ha sostituito Del Neri sulla panchina della Prima Squadra. Ha portato i giallorossi in finale di Coppa Italia e ad un posto in Coppa Uefa. Il suo ruolo di allenatore terminò quando la Roma chiamò Luciano Spalletti. Successivamente divenne direttore tecnico ed attualmente è responsabile del settore giovanile.